El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que
estudia conceptos tales como o vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y
en un enfoque más formal, espacios
vectoriales, y sus transformaciones lineales.
Es un área que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las
matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por
computadora, ingeniería, etc.
El álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los
cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares. Estudia
también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales
que satisfacen las condiciones de linealidad:
Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que
aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales,
siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie
de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud
de vectores y ángulo entre un par de los mismos.
Espacios
vectoriales de uso común
Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso
los tres tipos siguientes de espacios vectoriales:
Vectores en Rn
Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n
dimensión (es decir con n número de componentes). Podemos encontrar un ejemplo
de ellos en los vectores R2, que son famosos por representar las
coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...
Matrices 
Artículo principal: Matriz (matemática).
Es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas
dimensiones son descritas en las cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas (n) que poseen. Los arreglos matriciales son
particularmente estudiados por el álgebra lineal y son bastantes usados en las
ciencias e ingeniería.
Espacio vectorial de
polinomios en una misma variable
Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable.
Ejemplos de tales polinomios son:
El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es
posible multiplicar un número por un polinomio:
donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector).
Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada polinomio el resultado de derivarlo:
El operador derivada satisface las condiciones de linealidad, y aunque es
posible demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la
primera condición de linealidad:
y por otro lado:
Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar
a R", lo cual se obtiene mediante la elección de una base (álgebra) (es decir, un conjunto especial de vectores), y uno de los temas
recurrentes en el álgebra lineal es la elección de bases apropiadas para que
los vectores de coordenadas y las matrices que representan las transformaciones
lineales tengan formas sencillas o propiedades específicas.
A continuación expondremos un mapa conceptual para dar a conocer como el
álgebra lineal interviene en el campo de la electrónica;
